递归的英文缩写

PHP，一个嵌套的缩写名称，是英文超级文本预处理语言（PHP:Hypertext Preprocessor）的缩写。PHP 是一种 HTML 内嵌式的语言，PHP与微软的ASP颇有几分相似，都是一种在服务器端执行的嵌入HTML文档的脚本语言，语言的风格有类似于C语言，现在被很多的网站编程人员广泛的运用。PHP 独特的语法混合了 C、Java、Perl 以及 PHP 自创新的语法。它可以比 CGI 或者 Perl 更快速的执行动态网页。用PHP做出的动态页面与其他的编程语言相比，PHP是将程序嵌入到HTML文档中去执行，执行效率比完全生成HTML标记的 CGI要高许多；与同样是嵌入HTML文档的脚本语言JavaScript相比，PHP在服务器端执行，充分利用了服务器的性能；PHP执行引擎还会将用户经常访问的PHP程序驻留在内存中，其他用户再一次访问这个程序时就不需要重新编译程序了，只要直接执行内存中的代码就可以了，这也是PHP高效率的体现之一。PHP具有非常强大的功能，所有的CGI或者JavaScript的功能PHP都能实现，而且支持几乎所有流行的数据库以及操作系统。 PHP 最初是1994年Rasmus Lerdorf创建的，刚刚开始只是一个简单的用Perl语言编写的程序，用来统计他自己网站的访问者。后来又用C语言重新编写，包括可以访问数据库。在 1995年以Personal Home Page Tools (PHP Tools) 开始对外发表第一个版本，Lerdorf写了一些介绍此程序的文档，并且发布了PHP1.0。在这早期的版本中，提供了访客留言本、访客计数器等简单的功能。以后越来越多的网站使用了PHP，并且强烈要求增加一些特性，比如循环语句和数组变量等等，在新的成员加入开发行列之后，在1995年中，PHP2.0发布了。第二版定名为PHP/FI(Form Interpreter)。PHP/FI加入了对mSQL的支持，从此建立了PHP在动态网页开发上的地位。到了1996年底，有15000个网站使用 PHP/FI；时间到了1997年中，使用PHP/FI的网站数字超过五万个。而在1997年中，开始了第三版的开发计划，开发小组加入了 Zeev Suraski 及 Andi Gutmans，而第三版就定名为PHP3。2000年，PHP4.0又问世了，其中增加了许多新的特性。[编辑本段]PHP的特性 PHP的特性包括： 开放的源代码：所有的PHP源代码事实上都可以得到。 PHP是免费的。 php的便捷性 : php十分便捷，学习简单 基于服务器端：由于PHP是运行在服务器端的脚本,可以运行在UNIX、LINUX、WINDOWS下。 嵌入HTML：因为PHP可以嵌入HTML语言，所以学习起来并不困难。 简单的语言：PHP坚持脚本语言为主，与Java和C++不同。 效率高：PHP消耗相当少的系统资源。 图像处理：用PHP动态创建图像 面向对像：在php4,php5 中，面向对象方面都有了很大的改进，现在php完全可以用来开发大型商业程序。 PHP 相对于其他语言，编辑简单，实用性强，更适合初学者。[编辑本段]PHP 3与PHP 4 【PHP3】 PHP3跟Apache服务器紧密结合的特性；加上它不断的更新及加入新的功能；而且几乎支持所有主流与非主流数据库；再以它能高速的执行效率，使得PHP在1999年中的使用站点已经超过了150000万。加上它的源代码完全公开，在 Open Source意识抬头的今天，它更是这方面的中流砥柱。不断地有新的函数库加入，以及不停地更新的活力，使得PHP无论在UNIX、LINUX或是 Windows的平台上都可以有更多新的功能。它提供丰富的函数，使得在程序设计方面有着更好的支持。 【PHP4】 PHP4.0整个脚本程序的核心大幅更动，让程序的执行速度，满足更快的要求。在最佳化之后的效率，已较传统CGI或者ASP等程序有更好的表现。而且还有更强的新功能、更丰富的函数库。无论您接不接受，PHP 都将在 Web CGI 的领域上，掀起巅覆性的革命。对于一位专业的Web Master 而言，它将也是必修课程之一。 PHP 4.0是更有效的，更可靠的动态Web页开发工具，在大多数情况运行比 PHP 3.0要快，其脚本描述更强大并且更复杂, 最显著的特征是速率比的增加。PHP4.0这些优异的性能是PHP 脚本引擎重新设计产生的结果：引擎由 AndiGutmans 和 Zeev Suraski从底层全面重写。PHP4.0 脚本引擎 ——Zend 引擎，使用了一种更有效的编译——执行方式, 而不是PHP 3.0 采用的执行 ——当解析时模型。[编辑本段]PHP4的优越性 PHP4在3.0版的基础上增加或增强了许多有用的特征，主要如下： （1）别名：在PHP4中，可以利用引用为变量赋值，这给编程带来了很大的灵活性。 （2）扩充了API 模块：PHP 4.0 为扩展的 API 模块的提供了扩展PHP接口模块, 它比旧的 API 版本显著地快。 PHP 模块已有的及最常用的接口多数被转换到使用这个扩展的接口。 （3）自动资源释放：PHP4增加了引用计数功能，这种新技术的引入使PHP4具有了自动内存管理功能,减轻了开发人员的负担。 （4）布尔类型：PHP 4.0 支持布尔类型。 （5）进程生成：在 UNIX 环境下的 PHP 4.0 提供了一个很智能和通用的生成进程, 使用了一种名为基于automake/libtool的系统生成技术。 （6）COM/DCOM 支持：PHP 4.0 提供 COM/DCOM 支持 ( 仅用于Windows 环境 ) 可以无缝地存取和访问 COM 对象。 （7）与PHP 3.0 兼容性很好：PHP 4.0 是与 PHP 3.0 代码向后兼容性接近100% 。由于 PHP 4 的改进的体系结构,两者有一些细微的差别，但是大多数人将可能永远不可能遇上这种情况。 （8）配置：PHP4重新设计和增强了PHP.ini文件,这使得用PHP.ini来配置PHP显得极为容易,这个文件可以在运行时被Apache(unix系统)或由Windows 注册(Windows 环境)。 （9）加密支持：PHP4实现了完整的加密, 这些加密功能是一个完整的mycrypt库，并且 PHP 4.0 支持哈希函数。Blowfish，TripleDES,MD5,并且SHA1 也是可使用的一些加密算法。 （10）类型检查：PHP 4.0 支持同一操作符用于评类型检查：===（ 3 等号运算符 ）, 为在两个值和其类型之间作检查。例如, 3 ===3 将视为假 ( 类型是不同的 ), 而 3 ==3 ( 相等判断 ) 将视为真。 （11）FTP 支持：PHP 4.0 支持 FTP 。通常, 你会为通过一个调制解调器连接下载一个大文件提供一个接口。然而, 如果你确实有需要，可以使用PHP 。 （12）PHP4新增函数或功能增强函数：PHP 4.0 新增了许多函数,同时也将许多现有的函数功能进行了增强，以下是一些例子。 array_count_values() eval() foreach() nclude() ob_end_clean() ob_end_flush() ob_get_contents() ob_start() strip_tags() unset() （13）here打印：PHP 4.0 的Here打印是与Perl类似的, 尽管完全不相同。Here是打印大容量文章的一个有用的方法,例如在 HTML文件中，不会漏掉任何一个字符，例如目录标记。 （14）HTTP Session fallback 系统：为 HTTP Session管理的一个 fallback 系统在 PHP 4.0被实现。缺省情况下，Session标识符由cookies存储。如果没有cookies支持或一项cookies任务失败，Session标识符自动被创建并在 URL 的查询字符串中被携带。 （15）ISAPI 支持：PHP 4.0 能作为一个个性化的 ISAPI 模块作为 IIS插件 。这比 PHP 3.0 更有效, 它作为一个外部的程序来运行。 （16）内存：PHP 4.0 能更有效的使用内存, 导致较少的内存占用消耗,这主要归功于引用计数技术的实现。 （17）其他类成员函数：在 PHP 4.0 你能在成员函数本身的作用域或全局范围内调用其他类的成员函数。例如,你能用一个子函数覆盖父函数,并在子函数中调用父函数。 （18）多维数组：在 PHP 4.0 ，利用GET，POST,Cookies的进行的数据传输支持多维数组。 （19）个性化的 HTTP Session支持：HTTP Session处理, 包括 fallback 系统管理，在 PHP 4.0被它的新库函数实现 。在版本 3.0 中处理Session要求使用 PHPLIB 和第三方的库函数, 它比把Session直接地由 PHP 支持慢了许多。 （20）个性化的 Java 支持：PHP 4.0 支持和java的交互。这种个性化的Java 支持为PHP 在 Java 对象上创建和使用方法提供一个简单并且有效的工具。 21）对象和数嵌套组：PHP 4.0 实现了功能更加强大的对象, 移去了 PHP 3.0存在的种种句法限制。对象能在数组以内被嵌套并且反过来也如此, 可以根据你的需要实现嵌套。 （22）面向对象的编程：PHP 4.0 为面向对象的编程和构造类及对象提供扩展的功能和新特征。PHP4实现了对象重载,引用技术等新技术。 （23）对象重载支持：对象重载语法允许第三方的基于面向对象的类库使用 PHP4 的面向对象的特征存取他们自身的功能。使用这个特征的一个 COM 模块已经被实现了。 （24）输出缓冲支持：PHP 提供了一个输出缓冲函数集合。输出缓冲支持允许你写包裹函数功能压缩缓冲区。在 PHP4 的输出缓冲支持允许 HTML 头信息存放, 无论 HTML的正文是否输出。头信息( (header(), content type, and cookies ) 不采用缓冲 。 （25）增加了PCRE 库：PHP 4.0 包括一个 Perl 兼容的正则表达式 (PCRE ) 库, 和正常regex库一起与 PHP 绑定。split 和replace PCRE 功能被支持。PCRE 和 Perl 正规表达式之间有一些细微差别。 （26）PHP.ini 文件：PHP.ini文件在 PHP4.0 被重新设计, 使用的 PHP 的配置PHP.ini是更容易并且更有效的。全部文件能被Apache 在运行时间操作 ( 在 Apache环境 下 ) 或由 Windows 注册表 ( 在 Windows 下面 ) 。被加入PHP.ini文件的配置指令自动地在所有相关的模块中被支持。 （27）引用计数：PHP 4.0 为系统中的每个数值提供了引用计数, 包括资源。一旦一个资源不再被任何变量引用，它自动地被释放以节省内存资源。利用这个特征的最明显的例子一个内置SQL查询的循环语句。在PHP 3.0中 ，每次递归另外的 SQL 结果集合重复申请内存，直到脚本执行完毕,这些结果集合占用的内存才被释放。 （28）支持引用：通过引用可以改变一个变量的值。 （29）函数的运行时绑定：PHP 4.0 的运行时间绑定功能允许你在他们被声明以前调用, 无论声明是否在代码以后或是在运行时间。 （30）类的运行时信息：PHP 4.0 支持在运行时刻存取下列类信息：一个对象的类名，一个对象的父类的类名字，以及对象函数所在的名字。 （31）服务器抽象层：为支持Web服务器提供了增强型 SAPI ( 服务器 API ) 接口,是 PHP 4。0 不可分的一部分。这个服务器抽象层,提供了通用的WEB服务器接口支持,支持多线程WEB服务器,为大多数的WEB服务器提供透明的支持, 这些服务器包括 Apache ,IIS ( ISAPI ), 以及 AOL 服务器。 （32）语法的点亮显示：PHP 4.0 语法的点亮显示允许开发者看见源代码而不是脚本, 这个功能比PHP 3。0中的更有效。它跑得更快，更执行得更好，并且产生更紧凑的HTML代码。 （33）由引用改变变量的值：PHP 4.0 由引用支持可变的赋值, “关联”的2个变量之中个的任何一个的值被改变,另外的变量的值同样被改变,这类似与C中的指针类型。 （34）在引用字符串中的变量引用：PHP 4.0 增强了在引用字符串中的变量引用。[编辑本段]数据库方面 PHP 在数据库方面的丰富支持，也是它迅速走红的原因之一，它支持下列的数据库或是数据文件： · Adabas D · DBA · dBase · dbm · filePro · Informix · InterBase · mSQL · Microsoft SQL Server · MySQL · Solid · Sybase · ODBC · Oracle 8 · Oracle · PostgreSQL 而在 Internet 上它也支持了相当多的通讯协议 (protocol)，包括了与电子邮件相关的 IMAP, POP3；网管系统 SNMP；网络新闻 NNTP；帐号共用 NIS；全球信息网 HTTP 及 Apache 服务器；目录协议 LDAP 以及其它网络的相关函数。 除此之外，用 PHP 写出来的 Web 后端 CGI 程序，可以很轻易的移植到不同的操作系统上。例如，先以 Linux 架的网站，在系统负荷过高时，可以快速地将整个系统移到 SUN 工作站上，不用重新编译 CGI 程序。面对快速发展的 Internet，这是长期规划的最好选择。 变数类型: PHP有好多种变数; 主要有这些： - 数字 (integer - 例: 32) - 布尔值 (boolean - 例: TRUE) - 字串 (string - 例: 'a string of text') - NULL - 资源（resource） - 数组 (array - 例: arrayname[2]) 语法: 语法有三种: //comment /* comment */ # comment 基本的 "Control Structures": * if ... else if (condition == true) ; * if ... else then if (condition == true) else if (condition2 == true) ; 一个PHP实例: 请看: php官方网站： php对面向对象的支持 面向对象编程的概念： 不同的作者之间说法可能不一样，但是一个OOP语言必须有以下几方面： 抽象数据类型和信息封装 继承 多态 在PHP中是通过类来完成封装的： x=$v; } function getX() { return $this->x; } } 当然你可以按自己的喜好进行定义，但最好保持一种标准，这样会更有效。数据成员在类中使用"var"声明来定义，在给数据成员赋值之前，它们是没有类型的。一个数据成员可以是一个整数，一个数组，一个相关数组(associative array)或者是一个对象。方法在类中被定义成函数形式，在方法中访问类成员变量时，你应该使用$this->name，否则对一个方法来说，它只能是局部变量。 使用new操作符来创建一个对象： $obj=new Something; 然后你可以使用成员函数通过： $obj->setX(5); $see=$obj->getX(); 在这个例子中，setX成员函数将5赋值给对象的成员变量x(不是类的)，然后getX返回它的值5。可以象：$obj->x=6那样通过类引用方式来存取数据成员，这不是一个很好的OOP习惯。我强烈建议通过方法来存取成员变量。如果你把成员变量看成是不可处理的，并且只通过对象句柄来使用方法，你将是一个好的OOP程序员。不幸的是，PHP不支持声明私有成员变量，所以不良代码在PHP 中也是允许的。继承在PHP中很容易实现，只要使用extend关键字。 y=$v; } function getY() { return $this->y; } } "Another"类的对象现在拥有了父类(Something)的全部的数据成员及方法，而且还加上了自己的数据成员和方法。 你可以使用 $obj2=new Something; $obj2->setX(6); $obj2->setY(7); PHP现在还不支持多重继承，所以你不能从两个或两个以上类派生出新的类来。你可以在派生类中重定义一个方法，如果我们在"Another"类中重定义了getX方法，我们就不能使用"Something"中的getX方法了。如果你在派生类中声明了一个与基派同名的数据成员，那么当你处理它时， 它将“隐藏”基类的数据成员。 你可以在你的类中定义构造函数。构造函数是一个与类名同名的方法，当你创建一个类的对象时会被调用，例如： x=$y; } function setX($v) { $this->x=$v; } function getX() { return $this->x; } } 所以你可以创建一个对象，通过： $obj=new Something(6); 构造函数会自动地把6赋值给数据变量x。构造函数和方法都是普通的PHP函数，所以你可以使用缺省参数。 function Something($x="3",$y="5") 接着： $obj=new Something(); // x=3 and y=5 $obj=new Something(8); // x=8 and y=5 $obj=new Something(8,9); // x=8 and y=9 缺省参数使用C++的方式，所以你不能忽略Y的值，而给X一个缺省参数，参数是从左到右赋值的，如果传入的参数少于要求的参数时，其作的将使用缺省参数。 当一个派生类的对象被创建时，只有它的构造函数被调用，父类的构造函数没被调用，如果你想调用基类的构造函数，你必须要在派生类的构造函数中显示调用。可以这样做是因为在派生类中所有父类的方法都是可用的。 y=5; $this->Something(); //显示调用基类构造函数 } OOP的一个很好的机制是使用抽象类。抽象类是不能实例化，只能提供给派生类一个接口。设计者通常使用抽象类来强迫程序员从基类派生，这样可以确保新的类包含一些期待的功能。在PHP中没有标准的方法，但是：如果你需要这个特性，可以通过定义基类，并在它的构造函数后加上"die" 的调用，这样就可以保证基类是不可实例化的，现在在每一个方法(接口)后面加上"die" 语句，所以，如果一个程序员在派生类中没有覆盖方法，将引发一个错误。而且因为PHP 是无类型的，你可能需要确认一个对象是来自于你的基类的派生类，那么在基类中增加一个方法来实义类的身份(返回某种标识id)，并且在你接收到一个对象参数时校验这个值。当然，如果一个邪恶不好的程序员在派生类中覆盖了这个方法，这种方法就不起作用了，不过一般问题多发现在懒惰的程序员身上，而不是邪恶的程序员。 当然，能够让基类对程序员无法看到是很好的，只要将接口打印出来做他们的工作就可以了。在PHP中没有析构函数。 重载(与覆盖不同)在PHP中不支持。在OOP中，你可以重载一个方法来实现两个或重多的方法具有相同的名字，但是有不同数量或类型的参数(这要看语言)。PHP 是一种松散类型的语言，所以通过类型重载不起作用，然而通过参数的个数不同来重载也不起作用。 有时在OOP中重载构造函数非常好，这样你可以通过不同的方法创建对象(传递不同数量的参数)。在PHP中实现它的技巧是： $name(); //注意$this->name()一般是错误的，但是在这里$name是一个将被调用方法的名字 } function Myclass1($x) { code; } function Myclass2($x,$y) { code; } } 通过在类中的额外的处理，使用这个类对用户是透明的： $obj1=new Myclass('1'); //将调用Myclass1 $obj2=new Myclass('1','2'); //将调用Myclass2 有时这个非常好用。[编辑本段]多态 多态是对象的一种能力，它可以在运行时刻根据传递的对象参数，决定调用哪一个对象的方法。例如，如果你有一个figure的类，它定义了一个draw的方法。并且派生了circle和rectangle 类，在派生类中你覆盖了draw方法，你可能还有一个函数，它希望使用一个参数x，并且可以调用$x->draw() 。如果你有多态性，调用哪个draw方法就依赖于你传递给这个函数的对象类型。 多态性在象PHP这样的解释语言(想象一下一个C++编译器生成这样的代码，你应该调用哪一个方法？你也不知道你拥有的对象是什么类型的，好，这不是重点)是非常容易和自然的。所以PHP当然支持多态性。 draw(); } $obj=new Circle(3,187); $obj2=new Rectangle(4,5); $board->niceDrawing($obj); //将调用Circle的draw方法 $board->niceDrawing($obj2); //将调用Rectangle的draw方法 用PHP进行面向对象编程 一些"纯化论者(purists)"可能会说PHP不是一个真正的面向对象的语言，这是事实。 PHP 是一个混合型语言，你可以使用OOP，也可以使用传统的过程化编程。然而，对于大型项目，你可能想/需要在PHP 中使用纯的OOP

在数学和计算机科学中，当一类对象或方法可以由两个属性定义时，它们表现出递归行为:

简单的基线条件---不使用递归产生答案的终止情况

一组规则将所有其他情形缩减到基线条件

例如，以下是某人祖先的递归定义:

某人的父母是他的祖先(基线条件)

某人祖先的祖先也是他的祖先(递归步骤)

斐波那契数列是递归的经典例子:

Fib(0) = 1 基线条件1；

Fib(1) = 1 基线条件2；

对所有整数n,n > 1时：Fib(n) = (Fib(n-1) + Fib(n-2))。

许多数学公理基于递归规则。例如，皮亚诺公理对自然数的形式定义可以描述为:0是自然数，每个自然数都有一个后继数，它也是自然数。通过这种基线条件和递归规则，可以生成所有自然数的集合。

递归定义的数学对象包括函数、集合，尤其是分形。

递归还有多种开玩笑的“定义”。

非正式定义

递归是当程序的一个步骤涉及调用程序本身的过程。经历递归的过程被称为“递归”。

要理解递归，必须认识到程序和程序运行之间的区别。程序是基于一组规则的一组步骤。程序的运行实际上包括遵循规则和执行步骤。一个类比:一个程序就像一个书面的食谱；运行一个程序就像实际准备饭菜一样。

递归与过程规范中对其他程序执行的引用相关，但不相同。例如，食谱可能指烹饪蔬菜，而需要依次加水等步骤是另一个程序。然而，递归过程是指(至少)其中一个步骤需要一个相同过程的新实例，就像酸面团配方需要上次制作相同配方时剩下的一些面团。这立即产生了一个无限循环的可能性；如果为了程序能够完成，在某些情况下跳过有问题的步骤，这样递归只能在定义中被正确使用，比如一个酸面团配方，它还告诉您如何获取一些生面团，以防您以前从未做过生面团。即使定义正确，递归过程对人类来说也不容易执行，因为它需要区分过程的新调用和旧调用(部分执行)；这需要对程序的各种同步实例的进展程度进行一些管理。因此，递归定义在日常情况下非常罕见。一个例子可以是下面的寻找迷宫之路的过程，继续前进，直到到达出口或分支点(死角被认为是带有0个分支的分支点)。如果到达的点是出口，终止。否则，递归地使用该过程，依次尝试每个分支；如果每次试验都只到达死胡同而失败，返回到导致这个分支点的路径并报告失败。这是否真正定义了终止过程取决于迷宫的性质:它不允许循环。在任何情况下，执行该过程都需要仔细记录所有当前探索的分支点，以及哪些分支已经被彻底尝试过。

在语言中

语言学家诺姆·乔姆斯基和其他许多人都认为，一种语言中语法句子数量没有上限，语法句子长度也没有上限(超出了实际的限制，例如说出来的时间)，这可以解释为自然语言中递归的结果。 这可以用句法范畴的递归定义来理解，例如句子，一个句子可以有一个结构，在这个结构中，跟在动词后面的是另一个句子:多萝西认为女巫是危险的，在这个结构中，女巫是危险一句出现在更大的句子中。因此，一个句子可以递归地(非常粗略地)定义为一个结构，包括一个名词短语、一个动词和可选的另一个句子。这实际上只是递归数学定义的一个特例。

这提供了一种理解语言创造的方法——无限数量的语法句子——因为它立即预言句子可以是任意长度的:多萝西认为托托怀疑铁皮人说的....除了可以递归定义的句子之外，还有许多结构，因此一个句子可以通过许多方式将一个类别的实例嵌入另一个类别。多年来，一般来说，语言都被证明适合这种分析。

然而，最近，丹尼尔·埃弗雷特基于他对皮拉汉语的主张，对递归是人类语言的一个基本属性这一普遍接受的观点提出了挑战。Andrew Nevins, David Pesetsky 和 Cilene Rodrigues是许多反对这一观点的人之一。 在任何情况下，文学自我引用都可以被认为不同于数学或逻辑递归。

递归不仅在语法中起着至关重要的作用，在自然语言语义中也是如此。例如，单词and可以理解为一种功能，它可以应用于句子含义，从而创造出新的句子，同样也可以用于名词短语含义、动词短语含义和其它。它也适用于不及物动词、及物动词或双及物动词。为了给它提供一个适当灵活的单一表示，并且通常被定义为使得它可以将这些不同类型的含义中的任何一种作为参数。这可以通过为一个简单的案例定义它来实现，在这个案例中，它组合了句子，然后根据简单的案例递归地定义其他案例。

递归语法是一种包含递归生成规则的形式语法。

递归幽默

递归有时在计算机科学、程序设计、哲学或数学教科书中幽默地使用，通常是通过给出循环定义或自我引用，在循环定义或自我引用中，假定的递归步骤不会更接近基线条件，而是导致无限回归。这样的书在词汇表中包含一个笑话条目并不罕见，大致如下：

另一个笑话是“要理解递归，你必须理解递归。” 在谷歌网络搜索引擎的英文版本中，当搜索“递归”时，网站会提示“你的意思是:递归？”Andrew Plotkin的另一种形式如下:“如果你已经知道递归是什么，就记住答案。否则，找一个比你更靠近道Douglas Hofstadter 的人；然后问他或她什么是递归。”

递归首字母缩写也可以是递归幽默的例子。例如，PHP代表“PHP Hypertext Preprocessor”，WINE代表“WINE Is Not an Emulator.”，GNU代表“GNU's not Unix”。

在数学中

递归定义的集合

例子:自然数

递归定义集合的典型例子由自然数给出:

0是自然数；

如果n是自然数，那么n+1也是自然数；

自然数集合是满足前两个属性的最小集合。

例子:真正可达命题的集合

另一个有趣的例子是公理系统中所有“真正可达”命题的集合。

如果一个命题是公理，它就是一个真正可达的命题。

如果一个命题可以通过推理规则从真正可达命题中获得，那么它就是真正可达命题。

真正可达命题集是满足这些条件的最小命题集。

这个集合被称为“真正可达命题”，因为在数学基础的非建设性方法中，真正命题的集合可能大于由公理和推理规则递归构造的集合。有限细分规则

有限细分规则是递归的几何形式，可用于创建类似分形的图像。细分规则从由有限多个标签标记的多边形集合开始，然后以仅依赖于原始多边形标签的方式将每个多边形细分为更小的标记多边形，这个过程可被迭代。创建康托集合的标准“中间三分之一”技术是细分规则，重心细分也是细分规则。函数递归

一个函数可以根据自身被部分地定义。一个常见的例子是斐波那契数列: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2)。为了使这样的定义有用，它必须引入非递归定义的值，在这种情况下，F(0) = 0，F(1) = 1。

一个著名的递归函数是阿克曼函数，它不同于斐波那契数列，如果没有递归，它将无法被表达的。涉及递归定义的证明

如前几节所述，将标准的案例证明技术应用于递归定义的集合或函数，会产生结构归纳法，这是数学归纳法的一种强有力的推广，广泛用于数学逻辑和计算机科学中的推导证明。递归优化

动态规划是一种优化方法，它以递归的形式重述了多阶段或多步骤优化问题。动态规划的关键结果是贝尔曼方程(Bellman equation)，它将优化问题早期(或较早步骤)的值写入到后期(或较晚步骤)的值中。递归定理

在集合论中，这是一个保证递归定义函数存在的定理。给定一个集合X,集合X中的一个元素a和一个函数f: X -->X，定理表明存在一个唯一的函数F：N-->X(N表示包括0的自然数集合)，使得满足F(0)=a , F(n+1)=f(F(n)) (对于任何自然数n)。

唯一性的证明

取两个函数F：N-->X和G：N-->X使得满足：

F(0)=a

G(0)=a

F(n+1)=f(F(n))

G(n+1)=f(G(n))

其中a是集合X中的一个元素。

数学归纳法可以证明对于所有自然数都有F(n)=G(n)：

基线条件：当n=0时，等式F(0)=a=G(0)成立；

递归步骤：假设当k∈N时，F(k)=G(K)成立,然后F(k+1)=f(F(k))=f(G(k))=G(k+1),因此F(k)=G(k)意味着F(k+1)=G(k+1)

通过归纳，F(n)=G(n) (其中n∈N)。

在计算机科学中

一种常见的简化方法是将一个问题分成相同类型的子问题。作为一种计算机编程技术，这被称为分治法，是许多重要算法设计的关键。分治法是一种自上而下解决问题的方法，通过解决越来越小的实例来解决问题。相反的方法是动态编程，这种方法是自下而上的方法，通过解决越来越大的实例来解决问题，直到达到所需的大小。

递归的一个经典例子是阶乘函数的定义，这里用C代码给出:

unsigned int factorial(unsigned int n) {undefined

if (n == 0) {undefined

return 1;

} else {undefined

return n * factorial(n - 1);

}

}

该函数在输入的较小版本(n-1)上递归调用自身，并将递归调用的结果乘以n，直到达到基线条件，类似于阶乘的数学定义。

当一个函数被定义为更简单、通常更小的自身时，计算机编程中的递归就是一个例子。然后通过组合从问题的简单版本中获得的解决方案来设计问题的解决方案。递归的一个示例应用是在编程语言的解析器中。递归的最大优点是通过有限的计算机程序可以定义、解析或产生无限组可能的句子、设计或其他数据。

递推关系是递归定义一个或多个序列的方程，可以“解决”某些特定类型的递推关系来获得非递归定义。

在艺术领域

俄罗斯娃娃或俄罗斯套娃是递归概念的一个物理艺术例子。

自1320年乔托的Stefaneschi三联画问世以来，递归就一直用于绘画。它的中央面板包含红衣主教Stefaneschi的跪像，举着三联画本身作为祭品。

M.C. Eschers 印刷画廊 (1956)描绘了一个扭曲的城市，其中包含一个递归包含图片的画廊，因此无限。

所谓PHP就是传说中的动态网页编程语言，通常与HTML JSP 等一起使用何为动态，在这里动态就是指网页中的改变可以在刷新网页之后直观的在网页中显示出来，即有后台数据库、程序，并且可交互的，例如本网页，就算是动态网页。

PHP（外文名:PHP: Hypertext Preprocessor，中文名：“超文本预处理器”）是一种通用开源脚本语言。语法吸收了C语言、Java和Perl的特点，利于学习，使用广泛，主要适用于Web开发领域。PHP 独特的语法混合了C、Java、Perl以及PHP自创的语法。

它可以比CGI或者Perl更快速地执行动态网页。用PHP做出的动态页面与其他的编程语言相比，PHP是将程序嵌入到HTML（标准通用标记语言下的一个应用）文档中去执行，执行效率比完全生成HTML标记的CGI要高许多。

PHP还可以执行编译后代码，编译可以达到加密和优化代码运行，使代码运行更快。

参考资料：百度百科-php

递归,又译为递回,在数学与计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。

程序调用自身的编程技巧称为递归递归，作为一种算法，在程序设计语言中广泛应用。

标准翻译是 recurrence plot 简称RP -----看看plot的解释：【主美】(建筑物等的)平面图;标绘图He made a plot of the route of the hike.他为远足的路线画了一张图。-----相关知识：递归图简介一个自然界中的过程可以产生各自独特的递归行为，也就是常说的周期性（例如季节，Milankovich cycles），当然不规则的周期也包括在内（象 El Niño Southern Oscillation）。此外，递归状态，指某些状态在特定时间具有相似的特性，这种情况时确定动力学系统中的一个最基本的特性，同时这种特性也是非线性和混沌系统的特点。自然界中状态的递归性很早前就被发现并被研究，最早可追溯到1939年（e.g. recurrence phenomena in cosmic-ray intensity, Monk 1939）。Eckmann et al. (1987) 为我们介绍了一个可以在相空间观察状态xi递归性的工具。通常，一个相空间没有一个专门用来绘图的维，高维相空间可以通过投影到2到3维空间上被观测。Eckmann 的工具使我们可以在一个2维空间的递归表示图上对m-维相空间上的轨道进行观测研究。在 i 时刻的递归状态在第 j 时刻的状态可以通过一个2－维方阵用黑点或者白点表示，白点和黑点表示递归状态。这种表示方法被称作递归图（ recurrence plot (RP)）. ------------- 请不要误导他人