阳光白龙
拉格朗日插值公式如下：
拉格朗日插值公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
拉格朗日插值证明过程：
证明:先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。
当n=1n=1时，常函数(0次)P1(x)=y1P1(x)=y1即符合要求。假设当n−1n−1时存在一个次数≤n−2≤n−2的多项式Pn−1Pn−1,使得Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1.Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1。
则令Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)，其中cc为待定系数，利用Pn(xn)=ynPn(xn)=yn即可求出待定系数cc。
此时，Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,且Pn(x)Pn(x)的次数≤n−1≤n−1.这样就证明了存在性。
其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为P(x)P(x)和Q(x)Q(x)，它们次数≤n−1≤n−1且都插值经过nn个点，即P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n。
令H(x)=P(x)−Q(x)H(x)=P(x)−Q(x),HH的次数也≤n−1≤n−1，且有nn个不同的根x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn。
因此，由多项式基本定理可知，H(x)H(x)为0多项式，即恒等于0，故有P(x)=Q(x)P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。
插值余项：
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。
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在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。
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一、性质不同
1、牛顿插值：代数插值方法的一种形式。牛顿差值引入了差商的概念，使其在差值节点增加时便于计算。
2、拉格朗日插值：满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。
二、公式意义不同
1、牛顿插值：牛顿差值作为一种常用的数值拟合方法，由于其计算简单、计算点多、逻辑清晰、编程方便等特点，在实验分析中得到了广泛的应用。
特别是在实验中，当只能测量离散数据点或用数值解表示相应的关系时，可以用牛顿插值公式拟合离散点，得到更精确的函数解析值。
2、拉格朗日插值：在许多实际问题中，函数被用来表示某些内部关系或规律，许多函数只能通过实验和观察来理解。如果实际观测到一个物理量，并在多个不同的地点得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，它可以精确地提取每个观测点的观测值。
扩展资料：
拉格朗日插值的发现：
在数值分析中，拉格朗日插值法是由18世纪法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。在数学上，拉格朗日插值法可以给出一个多项式函数，它只通过二维平面上的几个已知点。
拉格朗日插值法最早由英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在《师范学校数学基础教程》一书中发表了这种插值方法，从此拉格朗日的名字就和这个方法联系在一起。
参考资料来源：百度百科-牛顿插值公式
参考资料来源：百度百科-拉格朗日插值法
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拉格朗日公式：
拉格朗日方程：
对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程，是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。通常可写成：
式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力；N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。
插值公式：
线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式。
约瑟夫·拉格朗日简介：
约瑟夫·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日公式（lagrange formula）包括拉格朗日方程、拉格朗日插值公式、拉格朗日中值定理等。
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