香飘飘~
不存在正整数 n， 7 ^ n | 9 ^ n - 1等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1)。一定有 7 ^ n＞3^n+1＞3^n-1，所以7 ^ n不整除3^n+1且7 ^ n不整除3^n-1。那么，一定有7 | 3^n+1，7 | 3^n-1，（此时需要n≥2，n=1代入算就知不成立)。所以7 | 2x3^n，所以7 | 3^n，矛盾，所以不存在正整数 n使 7 ^ n | 9 ^ n - 1成立。 
初等数论题目，有一队士兵，若3人一组，则余1人，若5人一组，则缺2人，若11人一组，则余3人，已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有多少人？这队士兵有x人若3人一组，则余1人也就是缺2人5人一组，则缺2人士兵有3*5*n-2=15n-25人一组，则缺2人也就是余3人11人一组，则余3人士兵有5*11*m+3=55m+315n-2=55m+315n-55m=53n-11m=1n m皆为正整数n=4 m=1 3n-11m=1 成立 总数15*4-2=58n=15 m=4 3n-11m=1 成立 总数15*15-2=223>170这队士兵有58人
问题太多，而且都比较难，给出2道的答案1设k = ds，n=dt那么(s，t)=1a^(ds) = 1 (mod m)a^(dt) = 1 (mod m)那么(a^d)^s = (a^d)^t = 1 (mod m)设 u = a^d所以u^s = 1，u^t = 1 (mod m)由于(s，t) = 1 =>u^(s % t) = 1 由辗转相除法可以得到u = 1 (mod m)所以a^d = 1 (mod m) x^y = y^(x-y)x^y*y^y=y^xxy = y^(x/y) x = yuy^2u = y^uu = y^(u-2)y = u^(1/(u-2))为整数，显然u必须为整数，所以u-2 = 1或u-2=-1 =>u=1或3x = u^((u-1)/(u-2))u = 1 =>x=y=1u = 3 =>x=3，y=9所以正整数解为(1，1)(3，9)
