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数学归纳法的原理本质上是用到了自然数集是一个良序集。良序集的定义：设集合(S，≤)为一全序集，≤是其偏序关系，若对任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，则称≤为良序关系，(S，≤)为良序集。如果里面还有一些名词不懂的话就上百度百科查找，这不是一两句话就能够说清的。应用的话就是你平时做的那些题目推广，数学归纳法是应用于自然数集的，把自然数集推广到任意良序集上就是“超限归纳法”，这是最经典的推广。当然前提是你是数学专业的大学生，否则不会学到这么深的。如果你是高中生的话，把“当n=1时成立…，假设当n=k时成立…就可证明当n=k+1时成立…”推广到“当n=1、2时成立…，假设当n=k时成立…就可证明当n=k+2时成立…”或者也可以推广为”当n=1时成立…，假设当n≤k时成立…就可证明当n=k+1时成立…”也就差不多了 
研究的背景、目的及意义主要写三层意思，第一，从给学生开阔视野的角度，在中学数学，数学归纳法主要用于证明题，给学生提供一个新的思路解题；第二，从未来应用的角度，（不太确定文科教材里有没有数学归纳法），对于理科生，将来会涉及到计算机编程，数学归纳法是递归循环的简单形式，有利于学生今后理工科知识的理解和学习第三，从应试角度，数学归纳法是中学数学的必修课，也是考试必考的知识点，也是比较好拿分的知识点主要研究内容和预期目标结合背景目的里的三层意思，主要研究内容围绕学生的认知水平，以及学生举一反三的能力来写：第一，统计数学归纳法在学生中的理解程度，或者说，数学归纳法对大部分学生来说的难易程度，学生在那些方面理解不清楚，这些理解不清楚的情况是属于普遍现象还是个别现象；（比如文科生和理科生理解上有何不同）预期目标：知道数学归纳法难在哪里，容易在哪里，要有统计数据第二，学生对数学归纳法的认识，是否有学生认识到数学归纳法在实际生活中的意义，还是应试的情况居多，一些对数学感兴趣的同学有没有觉得数学归纳法给他们带来的方便第三，学会了数学归纳法的同学是不是能更容易的理解计算机的递归循环算法，例如汉诺塔拟采用方法，步骤结合2中所说，主要通过统计方法，结合对学生的调查差不多就这样吧，我不是学教育的，不知道合不合您的要求
