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乒乓球新旧赛制对比分析 关键字：11分制 21分制 题目描述： 自2001年10月1日起，国际乒联改用11分制等新规则。11分制的实行，使比赛偶然性增加，让一些二三流选手也有机会战胜一流选手。“但这个偶然性应有个度，”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰，三四流选进决赛，那它就不是好规则了。”，是否会象羽毛球7分制一样实行不久就取消呢？ 请就乒乓球新旧赛制对比分析，试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析；试对11分制的7盘5胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析；请就是否有利于运动的推广；是否有利于形成对抗激烈，场面精彩的比赛；是否有利于它的市场开发和赞助商利益方面来评价乒乓球11分制利弊如何，并作出建议。 参量和函数说明： I 中的如下： A：选手一 B：选手二 WA:A胜的球数 WB: B胜的球数 g: A每球的胜率，即赢得一球的概率 P1: 11分制下，A胜出一局，且WA=11，WB<10时，的概率 P2：11分制下，A胜出一局，且 WB>=10，WA=WB+2时，的概率 P3：11分制下，A胜出一局的总概率 P4：11分制下，5盘3胜，A胜出的总概率 P5：11分制下，7盘4胜，A胜出的总概率 p3: 21分制下，A胜出一局的总概率 p4: 21分制下，3盘2胜，A胜出的概率 p5: 21分制下，5盘3胜，A胜出的概率 II 中的如下： A：选手一 B：选手二 i:A的得分，赢球数 j:B的得分，赢球数 n:总球数 g(i，j): A在比分i:j下胜出一球的概率，是随赛程而变化的函数 g0：A刚开始时的胜率 m(x):来表A进入状态的快慢程度对g造成影响的调谐因子 α:关键球(决胜负的一球)对A方对输赢此球的影响的因子 w(i，j)：用来描述A方输赢在比分i:j下，赢得此球的因子函数，当状态i:j时为可决定胜负(关键球)时w(i，j)=α，否则w(i，j)=1(也就是对比赛无影响) L(x)：A输球数(输球数为负时，即赢球)对g的影响的因子函数，其中x=i-j C：用来来标记A是否最先发球，若是则C=0，否则C=1 F(x)：发球权对A的胜率g的影响的因子函数，其中在11分制下x= mod(2) ，21分制下x= mod(2) 。 G(i，j)：到达比分i:j时的概率 L1：表示A胜的折线 L2：表示B胜的折线 P1：在11分制下，A胜出一局的概率 P’1：在21分制下，A胜出一局的概率 解答过程： I，初步建模 我们不妨先建立一个两选手对战的模型，且作出以下规定：1，根据两选手的技术水平，给定他们每一球胜出的概率；2，假设这种概率是恒定不变的，也就是说不考虑其它因素的影响。 现有两选手A和B对战，我们现在只拿出一个选手出来作考虑，比如A，因为比赛双方是相对的，确定了A的胜率，B胜率也随之确定(等于1减去A的胜率)。记A赢球为标志1，输球为标志为0，则概率空间X={0，1}。假设比赛共打了n球，则由前面的假设易知，存在服从0-1分布的n个相互独立的随机变数x1，x2，x3，…，xn ，其中xi∈X，i=1，2，，n。 设A每球的胜率为g(相应地B的胜率为1-g)，对战n盘，有Y=X1+X2+…+Xn ，服从两项分布ψ(n，g) 一、现在我们先来讨论11分制下A选手胜出的总的概率。 由于在每一局中，只有当A先胜出B至少两球，且打足11球时，A方可赢得这一局。 这样说来，我们可分两种情况来讨论，一是A先胜出11球，且B胜出的不足10球，则A就可胜出了。二是，B超过或等于10球，这时当且仅当A领先出两球时，A才可赢得本局。 记A胜的球数为WA，B的为WB。对第一种情况，WA=11，WB<10；现在来算A胜出此局的概率，并记为P1，由于最后一球必为A胜的，故在对战盘数n=WB+10下来讨论 Yn=X1+X2+…+Xn P(Y=10)= g10(1-g)WB 其中WB=0，1，2，9 由上式知，A可在WB=i，其中i=0，1，2，…，9的情况下胜出，由于事件之间是互斥的，所以概率可叠加，因此可得P1 ： P1= gP(Y10+i=10)= g11(1-g)i 对于第二种情况下，亦即WB>=10，WA=WB+2，记A胜出此局的概率为P2，则前20球必为AB各胜10球(否则就是第一种情况了)，总球数n=WA+WB=2WB+2，即n=22，24，…，2k+2，… A要胜出此局，则最后两球必为A赢的，对于每一n=2k+2，k>=10，我们考虑从第21球开始 的r=n-22球(包括第21球)，A，B在这期间的胜负可以说是交替的，即可以把相邻两球作为一个整体，把这段期间作分割，如下: (第21球，第22球 )，(第23球，第24球)……………(第n-4球，第n-3球) 在每个分割中，A，B各胜一球 A在不同球数下胜出的事件均是互斥的。故有 P2= g10(1-g)10 其中k=10，11，12，… = 记F(k)= =2-11g (1-g)-1 由于g是概率，故0≤g≤1，那么1-g≥0，所以有0≤2g(1-g)≤ = 故 = ，记L=2g(1-g)， t=2-11g (1-g)-1/(1-L) 则F(k)= t Lk ≤t(1/2)k 由此可知，P2为收敛级数，并且有P2=tL11= 现在，我们来看一下，A胜出此局的概率是多少？我们记之为P3。由于，A在不同球数胜出的事件是相互独立的，互斥的，所以有 P3=P1+P2 = a，对于5盘3胜 用P4来记A胜的概率，则比赛的盘数n可为3，4，5 n=3时，概率为： (P3)3 n=4时，最后一盘必为A胜，故概率为：P3 (P3)2(1-P3) n=5时，最后一盘也必为A胜，故概率为：P3 (P3)2(1-P3)2 于是有P4=(P3)3+ P3 (P3)2(1-P3)+ P3 (P3)2(1-P3)2=10(P3)3 – 15(P3)4+6(P3)5 b，对于7盘4胜 用P5来记A用的概率，则比赛的盘数n可为4，5，6，7 n=4时，概率为： (P3)4 n=5时，最后一盘必为A胜，故概率为：P3 (P3)3(1-P3) n=6时，最后一盘也必为A胜，故概率为：P3 (P3)3(1-P3)2 n=7时，最后一盘也必为A胜，故概率为：P3 (P3)3(1-P3)3 于是有P5=(p3)4[-20(P3)3+70(P3)4-84P3+35]或P5=(p3)4[1+4(1-p3)+10(1-p3)2+20(1-p3)3] 二、现在来讨论21分制下A选手胜出的总的概率。 有了11分制的的讨论，21分制下将易得出如下结果，(其论证过程类似于11分制的论证程) 对应于11分制下的P3，我们有p3= = a，对于3盘2胜下A胜出的概率，对应于11分制下的P4，我们记之为p4，则有 p4=3(p3)2-2(p3)3 b，对于5盘3胜下A胜出的概率，对应于11分制下的P5，我们记之为p5，则有 p5=(p3)3[6(p3)2-15p3+10] 下面我们用Mathimatica来分别作出P4和p4，P5和p5的图象比较如下： 并以步长为025，计算出g从0到1，P4和p4，P5和p5的比较数据如下： num g P4 p4 P5 p5 1 000 000 000 000 000 2 025 000 000 000 000 3 050 000 000 000 000 4 075 000 000 000 000 5 100 000 000 000 000 6 125 000 000 000 000 7 150 000 000 000 000 8 175 000 000 000 000 9 200 000 000 000 000 10 225 000 000 000 000 11 250 000 000 000 000 12 275 000 000 000 000 13 300 000 000 000 000 14 325 001 000 000 000 15 350 003 001 001 000 16 375 011 006 004 001 17 400 034 024 016 007 18 425 085 068 055 032 19 450 181 161 144 108 20 475 324 310 298 268 21 500 500 500 500 500 22 525 676 690 702 732 23 550 819 839 856 892 24 575 915 932 945 968 25 600 966 976 984 993 26 625 989 994 996 999 27 650 997 999 999 000 28 675 999 000 000 000 29 700 000 000 000 000 30 725 000 000 000 000 31 750 000 000 000 000 32 775 000 000 000 000 33 800 000 000 000 000 34 825 000 000 000 000 35 850 000 000 000 000 36 875 000 000 000 000 37 900 000 000 000 000 38 925 000 000 000 000 39 950 000 000 000 000 40 975 000 000 000 000 41 000 000 000 000 000 程序清单如下： #include #include #include double c(int i，int n){//返回组合数 if(i>n/2) i=n-i; double s=1; int k，j; for(k=n，j=1;j0时L(x)≥1，x=0时L(x)=1，x<0时，L(x)≤1。所以现在可记g(i，j)=g0m(i+j)w(i，j)L(i-j)。 最后，我们来考虑发球权对A的胜率g的影响，设当A获得发球权时，影响用β1表示，无发球权时，用β2表求。因为11分制下是2球一换的，所以我们用C来标记是否A最先发球，若是则C=0，否则C=1。那么A发球的充要条件是 mod(2)等于0，否则等于1。同理，在21分制下，若A发球的充要条件是 mod(2)等于0，否则等于1，这里C与上相同。所以可定义一函数F(x)，当x=0时，F(x)= β1 ，当x=1时，F(x)= β2 。这里，在11分制下x= mod(2) ，21分制下x= mod(2) 。 所以，现在可记g(i，j)=g0m(i+j)w(i，j)L(i-j)F(x)，其中x的定义如上。 好了，分析到此为止，g的表示式最终确定了下来了： g(i，j)=g0m(i+j)w(i，j)L(i-j)F(x) ，各函数和参量的定义上面都均已给出 g的讨论正式结束，现在让我们进入下一阶段的讨论吧，讨论A胜出比赛的概率。 我们不妨随着比赛的进程，用比分i:j ，来详细探讨吧。现令G(i，j)为到达比分i:j时的概率。由于i:j是相互独立的，亦即不同的比分为互斥事件，当比分i:j，不为最终状态时(就是胜负状态时)，到达此比分的可能由比分i-1:j或i:j-1达到的。因此可得G(i，j) G(i，j)=g(i-1，j)G(i-1，j) i≥1，j=0 G(i，j)=(1-g(i，j-1))G(i，j-1) j≥1，i=0 G(i，j)=g(i-1，j)G(i-1，j)+(1-g(i，j-1))G(i，j-1) i，j≥1 当比分为胜负比分时，若A胜，亦即i>j，到达这状态的比分只可能为i-1:j ，所以这时有：G(i，j)=g(i-1，j)G(i-1，j) 若A输，亦即i
其实自己看书就行，大学嘛，大部分都自学成才，不过大一可以参加数学建模吗？我们学校不允许大一学生参加数学建模。我给你的建议就是，找个大腿抱上，数学建模一般都是团队作业。
大一参加数学建模竞赛应做好以下几点：1，分配好队员的工作内容，负责“查资料”“编辑”“与其他团队交流与检查”。2，确定完成队员工作后，进行题目分析。3，明确模型思路后就要以及开始查阅资料，收集信息。4，利用思路建立模型并书写完整思路的论文。第一次参加数学建模比赛时会感觉不知所措，多次参加后即可得到经验。
