caroline程
若V是域F上的线性空间，q是从V到F的一个映射，使q(x)=φ(x，x），x∈V，式中φ是V上的对称双线性型，则q称为V上的二次型。当域F的特征不为2时，则φ由q唯一决定。此时φ(x，x）称为V上的二次型或二次齐式，而φ(x，y）称为此二次型的极型。若{e1，e2，…，en}为V的基底，则（式1），于是，二次型φ(x，x）可表为 （式2）式中（式3），（式4），j，k=1，2，…，n。令（式5）则（式6），j，k=1，2，…，n。于是⑴可唯一地表为对称形式（式7）式中（式8）是对称矩阵，且称为二次型φ(x，x）在基底e1，e2，…，en之下的矩阵。A的秩rankA称为此二次型的秩，记为rankφ。当V的基底改变时，即（e1'，e2'，，en')=(e1，e2，，en)^T，二次型φ(x，x）在新基底e1'，e2'，…，en'之下的矩阵变成B=PAP^T，仍为对称矩阵，且与A是合同的。所以，研究二次型的合同性可归结为研究对称矩阵的合同性。V上的二次型也可看成F上的变元x1，x2，…，xn的二次齐次函数，又称为n元二次齐式或n元二次型，它与对称矩阵和对称双线性型都是一一对应的。当F为实数域R时，可以证明必有V的一组基底使二次型φ(x，x）有如下的形式 （式11）， ⑶式中p+q=rankA。⑶称为实二次型φ(x，x）的实标准形。若⑶中的系数不限于±1，则⑶又可化为 （式12），⑷并称为实二次型φ(x，x）的实对角型。式中αj、bk均大于零。所谓惯性定理，即实二次型φ(x，x）中的p、q、p┡、q┡必满足p=p┡，q=q┡，亦即⑶中的p、q或⑷中的p┡、q┡是由φ(x，x）唯一决定的合同不变量，分别称之为φ(x，x）的正、负惯性指标，而s=p-q称为φ(x，x）的符号差。易知，rankφ、s、p、q四个数都是合同不变量，其中任意两个都可唯一决定标准形⑶。当F为复数域C时，作为实二次型的推广有所谓埃尔米特二次型。若V为C上的线性空间，从 VXV到C的映射φ满足φ（α1x1+α2x2，y)=α1φ（x1，y)+α2φ（x2，y），（式14），式中x，y在V中，α1、α2在C 中，则φ称为 V上的埃尔米特双线性型。由此可推出（式15）（式16），式中x、yj在V中，b1上横线、b2上横线是b1、b2的共轭复数，均在C中。此时φ(x，x）称为埃尔米特二次型。易知，φ(x，x）∈R。若{e1，e2，…，en}是V 的基底，（式17），则（式18）（式19），式中ajk=φ(ej，ek），A=(ajk)n*n，且A=A横线的转置矩阵。因此，当V的基底取定时，埃尔米特二次型φ(x，x) 则由一个埃尔米特矩阵唯一确定。实二次型的基本性质都可推广到埃尔米特二次型上。所谓正定（恒正）的埃尔米特二次型或正定的实二次型φ(x，x）是指对于V的非零向量x，有φ(x，x)>0。可以证明，对于φ(x，x），下述的命题是等价的：①φ(x，x）是正定的。②A是正定矩阵。③有非奇异矩阵Q使A=Q*Q，式中Q*表Q的共轭转置矩阵。④有对角元全为正的上三角矩阵M，使A=M*M，式中M*表M的共轭转置矩阵。⑤A的所有主子式全为正。⑥A的j阶主子式之和全为正，j=1，2，…，n，这里n=dimV。⑦A的所有左上角主子式（顺序主子式）全为正。⑧A 的所有特征值全为正。⑨φ(x，x）的正项指标p =n，这里n=dimV。若将上述正定定义中的“>”，分别换为≥、“<；”和“≤”，即得出φ(x，x）关于半正定、负定和半负定的定义。这些定义之外的其他情形，称为不定型。若将上述的⑤、⑥、⑧中的“正”改为“非负”，则得半正定的充分必要条件。φ负定即-φ正定，φ半负定即－φ半正定，由此可得出负定、半负定的某些充分必要条件。埃尔米特二次型与实二次型分别在酉变换与正交变换下的性质，无论是在理论上还是在实用上都具有重要的意义。在酉变换（正交变换）下，化埃尔米特二次型（实二次型）为标准形时，可先在V的任一基底下找出埃尔米特二次型对应的埃尔米特矩阵A，再求出A的全部特征值，即得φ(x，x）的标准形，式中的（y1，y2，…，yn）是x在V某一基底下的坐标；λ1，λ2，…，λn是φ(x，x）在V的任意基底下的对应矩阵A的全体特征值。埃尔米特矩阵必有n个线性无关的特征向量。令以λ1，λ2，…，λn为对角元的对角矩阵，则M的列向量依次为各λj对应的A的特征向量，将这些向量正交化，即得所求的酉矩阵。实二次型为埃尔米特型的特例，所以也可用此方法求出实二次型的正交矩阵。二次型的理论在物理学、几何学、概率论等学科中都已得到了广泛的应用。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、数的几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。 
可以与物理相结合，利用S=5*gt2（5乘以重力加速度乘以时间的平方）计算物体下落路程。 在企业其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示。 例题如下 一汽车出租公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全租出。当每辆车月租金增加50元时，未出租的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维修费150元，未出租的车每辆每月需维修费50元。当每辆车的月租金为多少元时出租公司月收益最大？ 设每辆车的月租金为X。则月收益为Y=[100-(X-3000)/50][X-150]-(X-3000)/50*50=162X-21000-X^2/50= -1/50(X-4050)^2+307050 所以当每辆车的月租金为4050元时出租公司月收益最大，最大收益为307050元 二次函数是数学中很重要的一部分，想必与物理有相当密切的关系，毕竟数学和物理都属理科。物理学的各种计算都要用数学知识，二次函数当然也要用。 一 直线等加速运动 我们知道，在匀速直线运动中，物体运动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为S＝vt，而在直线等加速运动（即通常所说的加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我们仍用S表示距离（米），用v0表示初始速度（米／秒），用t表示时间（秒），用a表示每秒增加的速度（米／秒）。那么直线等加速运动位移的公式是： S＝v0t＋ at2 就是说，再出是速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是二次函数。 我们来看一个例子：v0＝1米／秒，a＝1米／秒，下面我们列表看一下S和t的关系。 注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，停止等加速时停止计时。t的取值范围，很明显是t≥0，而S的取值范围，同样是S≥0。下面我们来看看它的图象： 下面我们再来看一个特殊情况。 二 自由落体位移 我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的特殊情况，它的初始速度为0，而每秒增加的速度为8米／秒，我们用g表示，但这个g不是8牛顿／千克。 自由落体位移的公式为： S＝ gt2 我们再来看看这个函数的表格： 图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情况，图象大同小异。 三 动能 现在我们来看另一方面的问题。我们知道，物体在运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和速度有关。比如说，以个人走过来不小心撞上你，或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒都不容易。这是因为对方具有的动能随速度的增大而增大。 我们用E表示物体具有的动能（焦耳），m表示物体的质量（千克），用v表示物体的速度（米／秒），那么计算物体动能的公式就是： E＝ mv2 来看一个表格（m＝1千克）： v的取值范围显然是v≥0，E的取值范围也是E≥0，所以它的图象和前两个没什么区别。 总结 通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围的要求大部分都是要求该数值大于等于0，所以图象大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在第一象限。还有，物理学上用到的公式，一般很少有常数项。 关于二次函数与物理的关系，我们就研究至此。
