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在几何里把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称基本作图。 基本作图包括：①作一角等于已知角；②平分已知角；③经过一点作已知直线的垂线；④作线段的垂直平分线；⑤若两已知圆相交，可求其交点。原理都是已经证明的定理，如平分角，利用的就是边边边公理，以定点为圆心化圆交角两点，角平分线的任一点，到两点的距离相等的原理（很容易证明这是个全等三角形）。作图公法以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：通过两个已知点可作一直线。已知圆心和半径可作一个圆。若两已知直线相交，可求其交点。若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。若两已知圆相交，可求其交点。 
1、以点A为圆心，任意长为半径，作弧，交AB于点E，交AD于点F； 2、分别以点E、F为圆心，任意长（大于1/2 EF）为半径，作弧，两弧交于点G； 3、连接AG； 以角ABG为角a，角GBD为角b， 则角ABD=角a+角b
1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛征引。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿 ·威尔(AWeil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。 高斯 印象中曾听过一个故事：高斯是位小学二年级的学生，有一天他的数学老师因为事情已处理了一大半，虽然上课了，仍希望将其完成，因此打算出一题数学题目给学生练习，他的题目是:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？，因为加法刚教不久，所以老师觉得出了这题，学生肯定是要算蛮久的，才有可能算出来，也就可以藉此利用这段时间来处理未完的事情，但是才一转眼的时间，高斯已停下了笔，闲闲地坐在那里，老师看到了很生气的训斥高斯，但是高斯却说他已经将答案算出来了，就是55，老师听了下了一跳，就问高斯如何算出来的，高斯答道，我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11，又11+11+11+11+11=55，我就是这么算的。高斯长大后，成为一位很伟大的数学家。 高斯小的时候能将难题变成简易，当然资质是很大的因素，但是他懂得观察，寻求规则，化难为简，却是值得我们学习与效法的。 《自学成才的数学家》华罗庚小时候很有数学天份，但家庭遭变故，只得停学看店，靠自学成为了数学家…… 高斯 印象中曾听过一个故事：高斯是位小学二年级的学生，有一天他的数学老师因为事情已处理了一大半，虽然上课了，仍希望将其完成，因此打算出一题数学题目给学生练习，他的题目是:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？，因为加法刚教不久，所以老师觉得出了这题，学生肯定是要算蛮久的，才有可能算出来，也就可以藉此利用这段时间来处理未完的事情，但是才一转眼的时间，高斯已停下了笔，闲闲地坐在那里，老师看到了很生气的训斥高斯，但是高斯却说他已经将答案算出来了，就是55，老师听了下了一跳，就问高斯如何算出来的，高斯答道，我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11，又11+11+11+11+11=55，我就是这么算的。高斯长大后，成为一位很伟大的数学家。 高斯小的时候能将难题变成简易，当然资质是很大的因素，但是他懂得观察，寻求规则，化难为简，却是值得我们学习与效法的。 华罗庚一生都是在国难中挣扎。他常说他的一生中曾遭遇三大劫难。自先是在他童年时，家贫，失学，患重病，腿残废。第二次劫难是抗日战争期间，孤立闭塞，资料图书缺乏。第三次劫难是“文化大革命”，家被查抄，手槁散失，禁止他去图书馆，将他的助手与学生分配到外地等。在这等恶劣的环境下，要坚持工作，做出成就，需付出何等努力，需怎样坚强的毅力是可想而知的． 早在40年代，华罗庚已是世界数论界的领袖数学家之一。但他不满足，不停步，宁肯另起炉灶，离开数论，去研究他不熟悉的代数与复分析，这又需要何等的毅力寻勇气！ 华罗庚善于用几句形象化的语言将深刻的道理说出来。这些语言简意深，富于哲理，令人难忘。早在 SO年代，他就提出“天才在于积累，聪明在于勤奋”。 华罗庚虽然聪明过人，但从不提及自己的天分，而把比聪明重要得多的“勤奋”与“积累”作为成功的钥匙，反复教育年青人，要他们学数学做到“拳不离手，曲不离口”，经常锻炼自己。50年代中期，针对当时数学研究所有些青年，做出一些成果后，产生自满情绪，或在同一水平上不断写论文的倾问，华罗庚及时提出：“要有速度，还要有加速度。”所谓“速度”就是要出成果，所谓‘加速度”就是成果的质量要不断提高。“文化大革命”刚结束的，一些人，特别是青年人受到不良社会风气的影响，某些部门，急于求成，频繁地要求报成绩、评奖金等不符合科学规律的做法，导致了学风败坏。表现在粗制滥造，争名夺利，任意吹嘘。 1978年他在中国数学会成都会议上语重心长地提出：“早发表，晚评价。”后来又进一步提出：“努力在我，评价在人。”这实际上提出了科学发展及评价科学工作的客观规律，即科学工作要经过历史检验才能逐步确定其真实价值，这是不依赖人的主观意志为转移的客 观规律。” 华罗庚从不隐讳自己的弱点，只要能求得学问， 他宁肯暴露弱点。在他古稀之年去英国访问时，他把成语“不要班门弄斧”改成“弄斧必到班门”来鼓励自己。实际上，前一句话是要人隐讳缺点，不要暴露。华罗庚每到一个大学，是讲别人专长的东西，从而得到帮助呢，还是对别人不专长的，把讲学变成形式主义走过场？华罗庚选择前者，也就是“弄等必到班门”。早在50年代，华罗庚在《数论导引》的序言里就把搞数学比作下棋，号召大家找高手下，即与大数学家较量。中国象棋有个规则，那就是“观棋不语真君子，落子无悔大丈夫”。1981年，在淮南煤矿的一次演讲中，华罗康指出：“观棋不语非君子，互相帮助；落子有悔大丈夫，改正缺点。”意思是当你见到别人搞的东西有毛病时，一定要说，另一方面，当你发现自己搞的东西有毛病时，一定要修正。这才是“君子”与“丈夫”。针对一些人遇到困难就退缩，缺乏坚持到底的精神，华罗庚在给金坛中学写的条幅中写道：“人说不到黄河心不死，我说到了黄河心更坚。” 人老了，精力要衰退，这是自然规律。华罗庚深知年龄是不饶人的。1979年在英国时，他指出：“村老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实以终。”这也可以说是他以最大的决心向自己的衰老作抗衡的“决心书”，以此鞭策他自己。在华罗索第二次心肌梗塞发病的，在医院中仍坚持工作，他指出：“我的哲学不是生命尽量延长，而是昼多做工作。”生病就该听医生的话，好好休息。但他这种顽强的精神还是可贵的。 总之，华罗庚的一切论述都贯穿一个总的精神，就是不断拼搏，不断奋进。 祖冲之(429-500)的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一个管理朝廷建筑的长官。祖冲之长在这样的家庭里，从小就读了不少书，人家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学，也喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并且做了详细记录。 宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。 我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观察的结果，创制出一部新的历法，叫做“大明历”（“大明”是宋孝武帝的年号）。这种历法测定的每一回归年（也就是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。 公元462年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。那时候，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。 祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说：“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说：“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后，他创制的大明历才得到推行。 尽管当时社会十分动乱不安，但是祖冲之还是孜孜不倦地研究科学。他更大的成就是在数学方面。他曾经对古代数学著作《九章算术》作了注释，又编写一本《缀术》。他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在3．1415926和3．1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。 祖冲之在科学发明上是个多面手，他造过一种指南车，随便车子怎样转弯，车上的铜人总是指着南方；他又造过“千里船”，在新亭江（在今南京市西南）上试航过，一天可以航行一百多里。他还利用水力转动石磨，舂米碾谷子，叫做“水碓磨”。 祖冲之晚年的时候，掌握宋朝禁卫军的萧道成灭了宋朝。 在我国北宋时代，有一位博学多才、成就显著的科学家，他就是沈括(1031～1095)。 沈括，字存中，宋仁宗天圣九年(公元1031年)生于浙江钱塘(今浙江杭州市)一官僚家庭。他的父亲沈周(字望之)曾在泉州、开封、江宁做过地方官。母亲许氏，是一个有文化教养的妇女。 沈括自幼勤奋好读，在母亲的指导下，十四岁就读完了家中的藏书。后来他跟随父亲到过福建泉州、江苏润州(今镇江)、四川简州(今简阳)和京城开封等地，有机会接触社会，对当时人民的生活和生产情况有所了解，增长了不少见闻，也显示出了超人的才智。 沈括精通天文、数学、物理学、化学、生物学、地理学、农学和医学；他还是卓越的工程师、出色的军事家、外交家和政治家；同时，他博学善文，对方志律历、音乐、医药、卜算等无所不精。他晚年所著的《梦溪笔谈》详细记载了劳动人民在科学技术方面的卓越贡献和他自己的研究成果，反映了我国古代特别是北宋时期自然科学达到的辉煌成就。《梦溪笔谈》不仅是我国古代的学术宝库，而且在世界文化史上也有重要的地位。 日本数学家三上义夫曾经说：沈括这样的人在全世界数学史上找不到，只有中国出了这么一个。英国著名科学史专家李约瑟博士称沈括的《梦溪笔谈》是中国科学史上的坐标。 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 瑞士数学家欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职。 有一次，俄国女皇邀请法国哲学家狄德罗访问她的宫廷。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地接受了挑战。 第二天，在宫廷上，欧拉朝狄德罗走去，用一种非常肯定的声调一本正经地说：“先生，，因此上帝存在。请回答！”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好。周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱。他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了。 就这样，一个伟大的数学家用欺骗的手段“战胜”了一个伟大的哲学家。 拉普拉斯和拉格朗日是19世纪初法国的两位数学家。拉普拉斯在数学上十分伟大，在政治上却是一个十足的小人，每次政权更迭，他都能够见风使舵，毫无政治操守可言。拉普拉斯曾把他的巨著《天体力学》献给拿破仑。拿破仑想惹恼拉普拉斯，责备他犯了一个明显的疏忽：“你写了一本关于世界体系的书，却一次也没有提到宇宙的创造者——上帝。” 拉普拉斯反驳说：“陛下，我不需要这样一个假设。” 当拿破仑向拉格朗日复述这句话时，拉格朗日说：“啊，但那是一个很好的假设，它说明了许多问题。” 两个神童19世纪初，在大西洋两岸出现了两个神童：一个是英国少年哈密顿，另一个是美国孩子科尔伯恩哈密顿的天才表现在语言学上，他8岁时就已经掌握了英文、拉丁文、希腊文和希伯莱文；12岁时已熟练地掌握了波斯语、阿拉伯语、马来语和孟加拉语，只是由于没有教科书，他才没有学习汉语。科尔伯恩则在数学上表现出神奇的天才，小时候，有人问他4294967297是否是素数时，他立刻回答不是，因为它有641作为除数。类似的例子多得不胜枚举，但他不能解释他得出正确结论的过程。 人们把两个神童带到一起，这次会面是奇妙的，现在已经无法确知他们交谈了什么，但结果却是完全出人意料的：科尔伯恩的数学天赋完全“移植”给了哈密顿；哈密顿放弃了语言学，投身数学，成为爱尔兰历史上最伟大的数学家。 至于科尔伯恩，他的天才渐渐消失了。 数学家之死挪威数学家阿贝尔22岁的时候就对数学的发展做出了重大的贡献，但并不为当时的数学界所接受。他过着穷困潦倒的生活，这严重地影响了他的健康，他得了肺结核，这在当时是绝症。在最后的几个星期，他一直在考虑他的未婚姐的未来。他写信给他最好的朋友基尔豪：“她并不美丽，有着一头红发和雀斑，但她是一个可爱的女子。”虽然基尔豪和肯普从未见过面，但阿贝尔希望他们两个能够结婚。 肯普小姐照料阿贝尔度过了生命的最后时刻。在葬礼上，她与专程赶来的基尔豪相遇了。基尔豪帮助她克服了悲伤，他们相爱并结了婚。正如阿贝尔所希望的那样，基尔豪和肯普婚后十分幸福，他们经常到阿贝尔墓前去怀念他。随着岁月的流逝，他们发现越来越多的人从各地赶来，为阿贝尔在数学上的贡献向他表达他们迟到的敬意，而他们只是这一朝圣队伍中的一对普通的朝圣者。 1832年5月29日，法国年轻气盛的伽罗瓦为了所谓的“爱情与荣誉”打算和另外一个人决斗。他知道对手的枪法很好，自己获胜的希望很小，很可能会死去。他问自己，如何度过这最后的夜晚？在这之前，他曾写过两篇数学论文，但都被权威轻蔑地拒绝了：一次是被伟大的数学家柯西；另一次是被神圣的法兰西科学院他头脑中的东西是有价值的。整个晚上，他把飞逝的时间用来焦躁地一气写出他在科学上的遗言。在死亡之前尽快地写，把他丰富的思想中那些伟大的东西尽量写出来。他不时中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。 他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，一劳永逸地为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一个极为重要的分支——群论。 第二天上午，在决斗场上，他被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。 数学家的问题费马是17世纪法国图卢兹议会的议员，一个诚实而勤奋的人，同时也是历史上最杰出的数学业余爱好者。在其一生中，他给后代留下了大量极其美妙的定理；同时，由于一时的疏忽，也向后世的数学家们提出了严峻的挑战。 费马有一个习惯，他在读书的时候喜欢把思考的结果简略。有一次，他在阅读时写下了这样的话：“……将一个高于2次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”这个定理现在被命名为“费马大定理”，即：不可能有满足xn＋yn=zn这就是费马对后世的挑战。为了寻找这个定理的证明，后世无数的数学家发起了一次又一次的冲锋，但都败下阵来。1908年，一位德国富翁曾经悬赏10万马克的巨款，奖励第一个对“费马大定理”完全证明的人。自此定理提出后，数学家们奋斗了300多年，还是没有证出来。但这个定理肯定存在，费马知道它。 在数学上，“费马大定理”已成为一座比珠穆朗玛峰更高的山峰，人类的数学智慧只有一次达到过这样的高度，从那以后，再也没有达到过。 华罗庚，中国现代数学家。1910年11月12日生于江苏省金坛县。1985年6月12日在日本东京逝世。华罗庚1924年初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到专家重视，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究，1934年成为中华教育文化基金会研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年应苏联普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年始，他为伊利诺伊大学教授。 1950年回国，先后任清华大学教授、中国科技大学数学系主任、副校长，中国科学院数学研究所所长、中国科学院应用数学研究所所长、中国科学院副院长等。华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人大常委会委员和政协第六届全国委员会副主席。 华罗庚是国际上享有盛誉的数学家，他在解析数论、矩阵几何学、多复变函数论、偏微分方程等广泛数学领域中都做出卓越贡献，由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法都用他的名字命名。为了推广优选法，华罗庚亲自带领小分队去二十七个省普及应用数学方法达二十余年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设做出了重大贡献。
对于初中生而言，几何推理的学习存在一定的难度。利用几何直观，可以帮助学生把复杂的几何问题变得简明形象，有助于学生进行几何推理的学习。针对如何在课堂教学中培养学生的几何直观能力和推理能力进行了一些探索。通过尺规作图，引导学生运用“先直观，再推理”的分析方法，提高学生解决几何问题的能力。 中国论文网 -htm关键词：几何直观能力；推理能力；尺规作图一、研究背景按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的规定，几何直观主要是指利用图形来分析问题。恰当地利用几何直观，可以帮助学生直观地理解数学，特别是抽象的数学内容；同时，借助几何直观还可以把复杂的数学问题变得简明形象，有助于提高学生解决问题的能力。在中学数学阶段，教师不仅要关注基础知识和基本技能的培养，也要关注学生高层次能力的培养。其中，培养学生的几何推理和几何直观能力是新课程标准的重要目标。“尺规作图”一直是培养学生数学几何推理和几何直观能力的阵地之一。在初中数学教材中，与“尺规作图”相关的内容主要有：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线；（6）利用三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；（7）已知底边及底边上的高线作等腰三角形；（8）已知一直角边和斜边作直角三角形。在教师的实际教学中，几何直观和几何推理常常难以调和。前者注重直观形象，后者注重严密逻辑。在许多教师眼中，“尺规作图”常常被视为学生动手实践和操作的载体，而忽视作图中的几何推理部分。本文采用引导学生先通过尺规作图，直观感受几何图形的变化规律，再通过几何推理证明规律，最后在具体情境中应用规律的方式，对尺规作图在初中数学几何直观与推理能力培养上的应用进行了探索。二、问题提出问题：如图1，平面上存在三条互相平行的直线m，n，i，点A为平面上的直线i上确定的一点。以A为顶点，利尺规作图画出等边△ABC，使得顶点B在直线m上，顶点C在直线n上。在此题中，点A的位置已经确定。为了构造等边三角形，随着点B在直线m上运动，点C的位置也会随之改变。因此，直接确定点A，点B，点C分别在三条平行线上的具体位置会有很大的难度。那么，当点B在直线m上运动时，点C的运动规律是什么呢？为了更好地研究点C的运动情况，笔者将原有问题进行了改变。三、问题转化问题：如图2，平面上存在两条互相平行的直线i，m，点A为直线i上一点。点B在直线m上运动。以A、B为顶点，利用尺规作图画出等边△ABC。探究点C的运动规律。在改变后的问题中，可以先在直线m上确定点B的位置，再通过作图去确定点C的位置。因此，需要在直线m上至少选取三个点B1，B2，B3（图3），各自完成等边三角形的作图，再根据点C1，C2，C3的位置（图4），通过几何直观去判断点C的运动规律。在教学过程中，当笔者完成作图后，学生得到的初步判断是：根据几何直观，点C1，C2，C3的位置在同一条直线上。在通过推理对猜想进行证明，可以先将图4中的等边三角形△AB2C2忽略，将问题转化为两个等边三角形公共顶点的旋转问题，如图5。图5中，在连接C1C3后，易证明△AB1B3≌△AC1C3与∠AB3B1=∠AC3C1，进而可以证明直线C1C3与直线m的夹角是60°。同理，若忽略等边三角形AB3C3的存在（图6），也可以证明直线C1C2与直线m的夹角是60°。因此，直线C1C3、直线C1C2与直线m的夹角都是60°，所以点C1，C2，C3共线。这个结论说明，当点B在直线m上运动时，点C的运动轨迹即为图5、6中的直线C1C3。四、深层探究�y道每次分析问题时都要画出两个等边三角形后才能确定点C的运动轨迹？能不能在确定点A的位置后，直接作出点C所在的直线？笔者带领学生在原来的基础上继续探究：在图7中，设直线C1C3与直线m的交于点M，与直线i交于点N。作AD⊥直线m，AE⊥直线C1C3。在证明△AB1B3≌△AC1C3后，可得两个三角形的面积相等且底边B1B3=C1C3，因此垂线段AD=AE。在图7中连接线段AM，根据角平分线逆定理，AM平分∠B1MC3；因此∠B1MC3=60°。再根据直线m∥i，可证明△AMN为等边三角形。因此，在确定了点A的位置后，只要以点A为顶点，在平行直线m与直线i间构造等边△AMN即可。为了构造该等边三角形，需要先构造∠MAN=60°。作图过程如图8所示。图8中新出现的直线即为点C的运动轨迹。最后，笔者带领学生重新审视最开始问题，根据上面的研究，可以根据点A与直线m的位置，直接作出点C的轨迹直线，如图9。再结合原题，可以得到如下结论：点C既会出现在直线n上，又会出现在轨迹直线上。因此，点C位于轨迹直线与直线n的交点上。在确定了点C的位置后，线段AC即为等边三角形的边长。之后再利用圆规，以点A为圆心，AC长为半径画弧。其与直线m的交点即为点B的位置。顺次连接线段，即得到符合题目要求的等边△ABC，如图10。五、研究反思在几何教学过程中，教师往往对于几何直观缺乏应有的重视。教师习惯于关注推理的方法和结论，而对学生推理的思考过程有所忽视。对于一个完整的思考过程而言，往往是从对事物的初始认识开始的。尤其对初中生而言，正在经历从“算术”到“数学”，从具体到抽象的过渡。受学生逻辑思维能力的限制，很多学生在几何推理的学习上是有一定困难的。因此，在教师的几何教学过程中，借助于几何直观、几何解释，让学生通过“眼见为实”，帮助学生更好地理解和接受抽象的内容和方法，通过“图象语言，符号语言，数学语言”三结合的方式去学习几何，尤其是进行几何推理的学习。在探究教学过程中，可以让学生根据作图，先对结论进行直观判断，再对结论进行严格证明。这样的学习过程对于培养学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力有很大的促进作用。使用这种“先直观，后推理”的方式，我们可以解决很多类似的尺规作图问题。例如，在平面内任意三条直线上各取一个点，利用尺规作图使得这三个点为等边三角形、直角等腰三角形的顶点；或者在平面内的三个圆上各取一个点，尺规作图使得这三个点为等边三角形、等腰直角三角形的顶点。希望有兴趣的老师可以和笔者一起研究。参考文献：[1]秦德生，孔凡哲关于几何直观的思考[J]中学数学教学参考，[2]刘晓玫对“几何直观”及其培养的认识与分析[J]中国数学教育，
哇靠！！要1500个字，累死人了！！鄙视啊啊！！！！
