小兔斯基801110
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密云汉子
原式形式简单，凑微分和一般换元都不易，又有三角函数，故考虑用“万能公式”令 tan(x/2)=t, 即 x=2arctant, 则 cosx=(1-t^2)/(1+t^2) , dx=2dt/(1+t^2), 带入原式得： ∫dx/（2+3cosx)=∫2/(1+t^2)dt/[(2+3*(1-t^2)/(1+t^2)]=∫2dt/(5-t^2) (常用积分的变形,凑微分即可)=(2/√5)* ∫d(t/√5)/[1-(t/√5)^2]=(1/√5)* ln│(1+t/√5)/(1-t/√5)│+ C=(1/√5)* ln│[√5+tan(x/2)]/[√5-tan(x/2)]│+ C 1.∫(e^x - 3cosx)dx = e^x - 3sinx + C2.∫(0,π/2)(cosx)^5 sinx dx = -∫(0,π/2)(cosx)^5 d(cosx) = -1/6 (cosx)^6 |(0,π/2) = 1/63.令t = √x，则dx = 2tdt，原式 = 2∫(0,1)t e^t dt = 2∫(0,1)t d(e^t) = 2t e^t |(0,1) - 2∫(0,1)e^t dt = (2t-2)e^t |(0,1) = 24.依题意可写出特征方程是x²-2x+5=0，则所求微分方程是y'' - 2y' + 5 = 05.交点是(0,0)和(1,1)，则面积=∫(0,1)(√x - x²)dx = [(2/3)x^(3/2) - x³/3]|(0,1) = 1/36.令√(x+1) = t，则x = t²-1，dx = 2tdt原式=∫(t-1)/(t+1) 2tdt = ∫[2t - 4 + 4/(t+1)]dt = t² - 4t + 4ln(t+1) + C
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